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title: "물체가 자유낙하 하는 상황 속에서의 운동방정식"
url: https://agwo2.dev/physics-equations-of-motion
author: "채은우 (Eunwoo Chae)"
date: 2025-02-04
tags: ["물리", "개념정리"]
summary: "물체의 운동방정식을 올바르게 세워보자"
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# 물체가 자유낙하 하는 상황 속에서의 운동방정식

### 문제 정의

물체가 연직 아래 방향으로 자유 낙하 하는 상황 속에서의 운동방정식은 어떻게 표현하는 것이 맞는 것인가?
(단, 중력가속도는 연직 아래 방향으로 $g$이고, 물체에는 저항력 $\vec f = -b \ v \hat v = -b \ \vec v$이 작용한다.)

### 풀이

먼저 다음과 같은 두 가지 상황을 가정할 수 있다.

![](https://www.notion.so/image/attachment%3A2fe1eba5-0a01-4787-af97-4bc22105ae56%3Aimage.png?table=block&id=190379b3-360f-80fa-8670-c48f94e9b026)

우리는 방향을 표현하기 위한 좌표계를 위쪽이나 아래쪽으로 둘 것인데, 결과는 똑같이 나올 것이다.

먼저 첫 번째로 위쪽을 (+)로 잡은 경우에는 아래와 같이 풀 수 있다.

$$
\Sigma F = m \vec g + \vec f 
\\ = m(-g) + (-b \vec v)
\\ = -mg + (-b(-v))
\\ = m \vec a = m \frac{d\vec v}{dt}= m\frac{d(-v)}{dt}= -m\frac{dv}{dt}= -ma = m(-a)
$$

다음으로 아래쪽을 (+)로 잡은 경우에도 아래와 같이 풀수 있다.

$$
\Sigma F = m \vec g + \vec f 
\\ = mg + (-b \vec v)
\\ = mg + (-bv)
\\ = m \vec a = m \frac{d\vec v}{dt}= m\frac{dv}{dt}= ma
$$

그리고 두 수식 모두 문제 상황에 적용해보았을 때 모순이 발생하지 않는다는 것을 보일 수 있다.

위쪽을 (+)로 잡은 경우와 아래쪽을 (+)로 잡은 경우 모두 아래와 같이 표현된다.

위쪽을 (+)로 잡은 경우

$$
\Sigma F = -mg+bv = -ma \\ 
= mg-bv = ma
$$

아래쪽을 (+)로 잡은 경우

$$
\Sigma F = mg-bv = ma
$$

결론적으로는 $\Sigma F = mg-bv = ma$로 똑같이 표현될 수 있다.

그렇기에 운동방정식을 표현함에 있어 중요한 것은 물체에 가해지는 힘뿐만 아니라 가속도에서의 방향도 적절하게 고려하여 운동방정식을 작성해야 한다는 점이다.

### 느낀점

사실 매우 간단한 문제인데, 굳이굳이 이렇게 정리해본 이유는 내가 어이없게도 문제상황을 착각하고 문제를 풀고자 하였던 것으로 인해서 너무나 당연하게 생각하고 풀던 것에 의문이 생겼기 때문이다.

오늘 정리해본 것으로 인해서 내가 문제상황을 착각했다는 것 또한 알 수 있었고 내 생각을 논리적으로 정리하는 연습을 해볼 수 있어서 잠깐이지만 즐거웠던 것 같다.

아 그리고 결론으로 **그냥 물체의 운동방향과 같은 방향으로 좌표계를 잡으면** 헷갈리는 것 없이 쉽게 풀수 있으니 나중에는 헷갈리지 말아야겠다.

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출처: https://agwo2.dev/physics-equations-of-motion