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title: "물질이 연속적인 계의 질량중심"
url: https://agwo2.dev/center-of-continuous-mass
author: "채은우 (Eunwoo Chae)"
date: 2024-01-23
tags: ["물리", "질량중심"]
summary: "물질이 연속적으로 분포한 계의 질량중심을 찾는 방법에 대해서 알아보자."
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# 물질이 연속적인 계의 질량중심

- 오늘은 물질이 연속적으로 분포한 계의 질량중심을 찾는 방법에 대해서 알아볼 것이다.
- 3가지 경우에 대해서 알아볼 것이고, 이를 응용한 문제도 풀어볼 예정이다.

연속적으로 분포한 계의 질량중심을 찾는 방법에 대해 알기 위해서는 

먼저 불연속적인 계에서 질량 중심을 찾는 방법을 알 필요가 있는데 다음은 불연속적인 계에서 

질량중심을 찾는 공식이다. y좌표를 찾는 공식은 동일하므로 생략했다.

$$
x _ { c m } = \frac { x _ { 1 } m _ { 1 } + x _ { 2 } m _ { 2 } + \dots + x _ { n } m _ { n } } { m_1+m_2+\dots+m_{n-1} + m_n } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } x _ { i } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i }  }
$$

이제 위 공식을 알았으니 연속적인 계에서 질량중심을 찾아보도록 하자.

위 공식을 조금 변형하면 우리가 원하는 연속적인 계에서 질량중심을 찾는 공식에 근접할 수 있다.

한 번 해보도록 하겠다.

$$
\lim _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } x _ { i } = \int x d m \\ \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i }  = \int  d m \\ \therefore x_{cm}=\frac {\int xdm} {\int dm}
$$

간단한 적분 두 번이면 질량중심을 찾을 수 있게 되었다.

하지만 미소질량(dm)을 알 수 없기 때문에 밀도, 면밀도, 선밀도 공식을 이용하여

알 수 있는 값으로 식을 변형할 것이다.

$$
밀도:\rho=\frac {m}{V} \Rightarrow m = \rho V \Rightarrow _{미분} dm=\rho dV\\ 면밀도:\sigma =\frac {m}{A} \Rightarrow m = \sigma A \Rightarrow _{미분}dm=\sigma dA\\ 선밀도:\lambda =\frac {m}{l} \Rightarrow m = \lambda l \Rightarrow _{미분}dm=\lambda dl
$$

이후 이 공식들을 이용하여 질량중심 공식을 다시 변형한다.

$$
x_{cm}=\frac {\int xdm} {\int dm}
= \frac {\int \rho x dV} {\int \rho  dV} 
= \frac {\int x dV} {\int  dV} 
\\

x_{cm}=\frac {\int xdm} {\int dm}
= \frac {\int \sigma x dA} {\int \sigma  dA} 
= \frac {\int x dA} {\int  dA} 
\\

x_{cm}=\frac {\int xdm} {\int dm}
= \frac {\int \lambda x dl} {\int \lambda  dl}
= \frac {\int  x dl} {\int  dl}
$$

이렇게 되면 미소부피(dV), 미소표면적(dA), 미소길이(dl)를 통해 질량중심을 찾을 수 있다.

아래는 각각 부피, 표면적, 길이를 사용하여 질량중심을 구하는 것을 풀어서 나타낸 것이다.

반구를 기준으로 좌표 축의 세로 축을 z로 설정한 뒤 풀이 하였으므로 참고하길 바란다.

![](https://www.notion.so/image/https%3A%2F%2Fprod-files-secure.s3.us-west-2.amazonaws.com%2F342e3572-6698-498c-b69e-db1b812e83c7%2F782716e8-6816-4e91-bb16-afc4885e456b%2FUntitled.jpeg?table=block&id=a39d50f7-bccf-4934-be0a-c45ca74f3d44)

![](https://www.notion.so/image/https%3A%2F%2Fprod-files-secure.s3.us-west-2.amazonaws.com%2F342e3572-6698-498c-b69e-db1b812e83c7%2F577d6b10-0d40-40c0-9d0c-1e41f410e2b1%2FUntitled.jpeg?table=block&id=c4b06602-fa89-4dce-924b-871cbc2c87e8)

![](https://www.notion.so/image/https%3A%2F%2Fprod-files-secure.s3.us-west-2.amazonaws.com%2F342e3572-6698-498c-b69e-db1b812e83c7%2Feb912c39-c667-4c4d-9416-3d7692f28224%2FUntitled.jpeg?table=block&id=bde3a179-b11c-4805-95cd-03b747924af4)

이제 우리는 물질이 연속적으로 분포한 계의 질량중심을 구할 수 있게 되었다.

그렇다면 이를 바탕으로 아래 문제를 풀어보자.

**다음 그림과 같은 균일한 반원판의 질량중심은?**

![](https://www.notion.so/image/https%3A%2F%2Fprod-files-secure.s3.us-west-2.amazonaws.com%2F342e3572-6698-498c-b69e-db1b812e83c7%2Ffc1c604c-a9ba-4f42-877d-ed80a4891fd0%2FUntitled.png?table=block&id=fd8f9dae-e2d5-49ee-aed4-a30dc573d842)

글을 쓰는 시간이 너무 늦은 관계로 해당 문제에 대한 풀이는 다음 포스팅에서 이어서 하도록 하겠다.

그리고 다음에 쓰는 김에 단순한 풀이 외 Python으로 구현도 해보도록 하겠다.

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출처: https://agwo2.dev/center-of-continuous-mass